Question

已知圆O：x²+y²=m（m＞0）与抛物线y²=ax（a＞0）相交于A（1，1），B（1，-1）两点．
（1）求圆O的半径，抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）设P是抛物线上不同于A，B的点，且在圆外部，PA的延长线交圆于点C，直线PB与x轴交于点D，点E在直线PB上，且四边形ODEC为等腰梯形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据A（1，1）在圆O：x²+y²=m上，可求圆O的半径；A（1，1）代入抛物线y²=ax，可得a=1，从而可求抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）设P（m，n），由四边形ODEC为等腰梯形，可得k_OC=k_PB=

n+1

m-1

，从而可得OC的方程为y=-

n+1

m-1

x，代入圆的方程，求出C的坐标，利用P，A，C三点共线，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵A（1，1）在圆O：x²+y²=m上，
∴圆O的半径为

2

，
A（1，1）代入抛物线y²=ax，可得a=1，
∴抛物线的方程为y²=x，
∴抛物线的焦点坐标(

1

4

，0)，准线方程：x=-

1

4

；
（2）设P（m，n），则
∵四边形ODEC为等腰梯形，
∴k_OC=k_PB=

n+1

m-1

，
∴OC的方程为y=-

n+1

m-1

x，
代入x²+y²=2，可得x=-

2 1+( n+1 m-1 )2

，y=

n+1

m-1

•

2 1+( n+1 m-1 )2

，
∵P，A，C三点共线，
∴

n-1

m-1

=

n+1 m-1 • 2 1+( n+1 m-1 )2 -1

- 2 1+( n+1 m-1 )2 -1

，
∵n²=m，
∴可得P的坐标为：(8+2

7

，1+

7

)或(8-2

7

，1-

7

)．

点评：本题考查圆的方程、抛物线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．