题目内容

在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos（A+
π
4
）+cos（A-
π
4
）=
2
2

（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）已知等式左边利用和差化积公式变形，再利用特殊角的三角函数值计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积的最大值即可．
解答： 解：（1）∵cos（A+
π
4
）+cos（A-
π
4
）=2cosAcos
π
4
=
2
2
，
∴cosA=
1
2
，
又0＜A＜π，
∴A=
π
3
；
（2）∵a=4，cosA=
1
2
，
∴由余弦定理，得：a2=b2+c2-2bccosA，即16=b2+c2-bc≥bc，
∴bc≤16，当且仅当b=c=4时，上式取“=“，
∴S△ABC=
1
2
bcsinA≤4
3
，
则△ABC面积的最大值为4
3
．
点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a是实数，函数f（x）=x3-ax2-4x+4a．
（1）若f′（-1）=0，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是单调递增的，求实数a的取值范围．
已知向量
m
=（2sinωx，cosωx），
n
=（-
3
sinωx，2sinωx）（ω＞0）函数f（x）=
m
•
n
+
3
，直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
π
2
．
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）已知x∈[-
π
3
，θ]，f（x）∈[-
3
，2]，求θ的取值范围．
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=
2
，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证直线PE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线BD和PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）已知空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）．
某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计，其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

（1）根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：
成绩性别优秀不优秀总计
男生
女生
总计
（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？
（注：
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）
（3）若从成绩在[130，140]的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．
已知函数f（x）=2sinωxcosωx=2
3
sin2ωx-
3
（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，再向上平移a（a＞0）个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在区间[0，
π
4
]上的最大值与最小值的和为5，求a的值．
如图，直三棱柱ABC=A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点且
CE
EB
=
1
3
．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A1MC1；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱锥E-A1MC1的体积．
各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且an+3SnSn-1=0（n≥2），a1=
1
3
．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn=
1 ，(n=1)
1
3(1-n)an
，(n≥2)
，设Tn=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若Tn＞m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（x）=
 
．

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