Question

已知向量

m

=（2sinωx，cosωx），

n

=（-

3

sinωx，2sinωx）（ω＞0）函数f（x）=

m

•

n

+

3

，直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）已知x∈[-

π

3

，θ]，f（x）∈[-

3

，2]，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据题意表示出f（x）进而利用两角和公式和二倍角公式化简，根据题意推断出函数的周期，求得ω的值，则函数解析式可得，最后根据正弦函数的单调性求得函数的单调增区间．
（2）根据函数的值域求得x的范围，进而根据已知x的范围确定θ的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2

3

sin²ωx+2cosωxsinωx=sin2ωx-

3

（1-cos2ωx）+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

），
又∵直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴函数y=f（x）的最小正周期为π，
故

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函数的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

3

，θ]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，2θ+

π

3

]
由f（x））∈[-

3

，2]，
∴-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴

π

2

≤x≤

4π

3

，
∴

π

12

≤θ≤

π

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生分析和运算的能力．