Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

2

，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证直线PE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线BD和PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）已知空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质得PE⊥BD，由平面PBD⊥平面BCD，能证明直线PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求异面直线BD和PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）设Q（x，y，z），由存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，利用空间向量两点间距离公式求出Q（0，1，0），由此能求出这个距离．

解答： （Ⅰ）证明：∵E为BD的中点，PB=PD，
∴PE⊥BD，
∵平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD，
PE?平面PBD，
∴直线PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，
依题意得E（0，0，0），B（1，0，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
∴

BD

=（-2，0，0），

PC

=（-1，2，-1），
∴cos＜

BD

，

PC

＞=

2

2 6

=

6

6

，
∴异面直线BD和PC所成角的余弦值为

6

6

（Ⅲ）空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，这个距离的值为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．