Question

如图，直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点且

CE

EB

=

1

3

．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A₁MC₁；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱锥E-A₁MC₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先A₁，M，N，C₁四点共面，再证DE∥平面A₁MC₁；（Ⅱ）AM⊥平面A₁MC₁，

V

E-A1MC1

=

V

D-A1MC1

=

V

M-A1C1D

再进行等积转化．

解答： 解析：（Ⅰ） 取BC中点为N，连结MN，C₁N，
∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
∵

CE

EB

=

1

3

，BC中点为N，
∴E是CN中点，又D为CC₁的中点，
∴ED∥NC₁，又ED?平面A₁MC₁，NC₁?平面A₁MC₁，DE∥平面A₁MC₁…（6分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴AA₁⊥AB，∵5，AC∩AA₁，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，∴AM⊥平面A₁MC₁，
∵DE∥平面A₁MC₁，∴

V

E-A1MC1

=

V

D-A1MC1

=

V

M-A1C1D

，

V

M-A1C1D

=

1

3

×AM×

1

2

×DC1×A1C1=

2

12

所以三棱锥E-A₁MC₁的体积为

2

12

…（12分）

点评：本题考查平面与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，根据题目条件，将问题灵活转化是关键，考查逻辑推理能力与计算能力．