Question

已知a是实数，函数f（x）=x³-ax²-4x+4a．
（1）若f′（-1）=0，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是单调递增的，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据f′（-1）=0，即可求实数a的值；
（2）根据函数的单调区间得f′（x）=0的两解必在[-2，2]内，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a．
∴f′（x）=3x²-2ax-4．
由f′（-1）=0，得3+2a-4=0，解得a=

1

2

；
（2）由f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是单调递增．
则f′（x）=0的两解必在[-2，2]内．
得f′（-2）≥0且f′（2）≥0，
即

12+4a-4≥0 12-4a-4≥0

，得

a≥-2 a≤2

，解得-2≤a≤2，
∴a的取值范围为[-2，2]．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数在函数中的应用．