Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx=2

3

sin²ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再向上平移a（a＞0）个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在区间[0，

π

4

]上的最大值与最小值的和为5，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得ω，则函数解析式可得，最后利用正弦函数单调性求得函数的单调增区间．
（Ⅱ）根据图象平移的法则求得函数g（x）的解析式，进而根据x的范围确定x+

π

3

的范围，进而根据三角函数的性质求得函数的最大和最小值的表达式，进而求得a．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

）
由周期为π，得ω=

2π

T

=1．
得F（X）=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
所以函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再向上平移a个单位，
得到g(x)=2sin(2x+

π

3

)+a，
因为x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
所以g（x）∈[1+a，2+a]，
令1+a+2+a=5
得a=1

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．综合性强，是这几年高考常考的题型．