Question

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=

1

2

PD=1．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若CP与面DQC所成的角的正切值为

10

5

，求二面角Q-BC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（I）如图所示，取线段PD的中点E，连接QE．可得四边形AQED是平行四边形，∠PQD=90°．可得PD⊥平面ABCD，于是可得CD⊥平面ADPQ．再利用三垂线定理及面面垂直的判定定理即可证明．
（II）由（I）可知：PQ⊥平面CDQ．可得∠PCQ为CP与面DQC所成的角．利用CP与面DQC所成的角的正切值为

10

5

，可得CD．可证QA⊥平面ABCD．可得∠QBA为二面角Q-BC-D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答： （I）证明：如图所示，
取线段PD的中点E，连接QE．
∵DE∥AQ，DE=AQ=

1

2

PD，
∴四边形AQED是平行四边形，
∴QE=AD=

1

2

PD．
∴∠PQD=90°．
∴PQ⊥QD．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD．
又∵CD⊥DA，DA∩DP=D．
∴CD⊥平面ADPQ．
∴PQ⊥QC．
由QD∩QC=Q，
∴PQ⊥平面CDQ．
∴平面PQC⊥平面DCQ．
（II）解：由（I）可知：PQ⊥平面CDQ．
∴∠PCQ为CP与面DQC所成的角．
∵CP与面DQC所成的角的正切值为

10

5

，
∴

PQ

CQ

=

10

5

，
由（I）可得PQ=

2

=DQ，
∴CQ=

5

．
∴CD=

CQ2-DQ2

=

3

．
∵QA∥PD，
∴QA⊥平面ABCD．
∴∠QBA为二面角Q-BC-D的平面角．
∴tan∠QBA=

QA

AB

=

1

3

=

3

3

．
∴∠QBA=30°．
∴二面角Q-BC-D为30°．

点评：本题考查了三垂线定理、线面与面面垂直的判定定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角与二面角、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．