Question

已知抛物线x²=2y存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：直线与圆

分析：设M（x₁，

x12

2

）、N（x₂，

x22

2

）关于已知直线对称，则

x1+x2

2

=-

1

k

x12+x22

4

=k•

x1+x2

2

+3=2．由于线段MN的中点必在抛物线内，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：设M（x₁，

x12

2

）、N（x₂，

x22

2

）关于已知直线对称，

x12 2 - x22 2

x2-x1

=-

1

k

，即

x1+x2

2

=-

1

k

又线段MN的中点在直线y=kx+3上，
∴

x12+x22

4

=k•

x1+x2

2

+3=2．
由于线段MN的中点必在抛物线内，
有

x12+x22

4

≥

1

2

(

x1+x2

2

)2=

(x1+x2)2

8

，即16≥

4

k2

，
解得k≥

1

2

或k≤-

1

2

．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．