Question

已知函数f（x）=2lnx-a（x-

1

x

）（a≠0）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设

1

e

＜x1＜1，求f（x）极小值的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=

2

x

-a-

a

x2

=

-ax2+2x-a

x2

．令g（x）=-ax²+2x-a，由于函数f（x）=2lnx-a（x-

1

x

）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜x₁＜

1

a

＜x₂，又

1

e

＜x1＜1，对a进行分类讨论，即可求得f（x₁）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2lnx-a（x-

1

x

）（x＞0），f′（x）=

2

x

-a-

a

x2

=

-ax2+2x-a

x2

．
令g（x）=-ax²+2x-a，
∵函数f（x）=2lnx-a（x-

1

x

）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=-2ax+2=-2a（x-

1

a

），
∴当a＜0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=

1

a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

a

，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

1

a

时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（

1

a

）=

1

a

-a＞0，解得0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜x₁＜

1

a

＜x₂，又

1

e

＜x1＜1，
∴当0＜a＜1时，

1

e

＜x1＜1，∴-1＜lnx₁＜0，

1

e

-e＜x1-

1

x1

＜0，0＜-a（x1-

1

x1

）＜a（e-

1

e

）
∴-2＜f（x₁）=2lnx₁-a（x₁-

1

x1

）＜a（e-

1

e

），即-2＜f（x₁）＜a（e-

1

e

）．
当1≤a＜e时，

1

e

＜x1＜

1

a

，∴，∴-1＜lnx₁＜-lna，

1

e

-e＜x1-

1

x1

＜

1

a

-a，a²-1＜-a（x1-

1

x1

）＜a（e-

1

e

），
∴

1

e

-e+a²-1＜f（x₁）=2lnx₁-a（x₁-

1

x1

）＜a（e-

1

e

）+

1

a

-a，即

1-e2+(a2-1)e

e

＜f（x₁）＜a（e-1）+

e-a2

ae

．
当a≥e时，由0＜x₁＜

1

a

＜x₂，又

1

e

＜x1＜1，可知x₁不存在，故f（x₁）不存在．
综上所述：当0＜a＜1时，-2＜f（x₁）＜a（e-

1

e

）．
1≤a＜e时，

1-e2+(a2-1)e

e

＜f（x₁）＜a（e-1）+

e-a2

ae

．
a≥e时，f（x₁）不存在．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．