Question

在△ABC中，角A、B、C成等差数列，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinAsinC=cos²B，S_△ABC=4

3

，求a，b，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：根据A、B、C成等差数列，求出B的值，由

ac

b2

=

cos2B

sin2B

=

1

3

①，ac=16②，求出b的值，根据a²+c²=64解出a，c的值即可．

解答： 解：∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，由A+B+C=180°，解得：B=60°，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sinA=

a

b

sinB，sinC=

c

b

sinB，
又sinAsinC=cos²B，
∴

a

b

sinB•

c

b

sinB=cos²B，
∴

ac

b2

=

cos2B

sin2B

=

1

3

①，
而S_△ABC=4

3

=

1

2

acsinB，
∴ac=16②，
由①②得：b=4

3

，
由b²=a²+c²-2accosB，得：a²+c²=64③，
由②③得：

a=2 6 -2 2 c=2 6 +2 2

或

a=2 6 +2 2 c=2 6 -2 2

，
∴a=2

6

-2

2

，b=4

3

，c=2

6

+2

2

，
或a=2

6

+2

2

，b=4

3

，c=2

6

-2

2

．

点评：本题考查了解三角形问题，考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，是一道中档题．