Question

如图，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），过点F任作两条弦AC，BD，且

AC

•

BD

=0，E，G分别为AC、BD的中点
（1）写出抛物线C的方程；
（2）设过点（3，0）的直线EG交抛物线C于M、N两点，试求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

p

2

=1，由此能求出抛物线C的方程．
（2）当直线EG的斜率不存在时，直线EG的方程为x=3，此时|MN|=4

3

；当直线EG的斜率k存在时，设直线EG的方程为y=k（x-3），联立

y=k(x-3) y2=4x

，得k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），
∴

p

2

=1，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）当直线EG的斜率不存在时，直线EG的方程为x=3，
交抛物线于M（3，2

3

），N（3，-2

3

），此时|MN|=4

3

，
当直线EG的斜率k存在时，由题意知k≠0，
设直线EG的方程为y=k（x-3），
联立

y=k(x-3) y2=4x

，得k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，
∵过点（3，0）的直线EG交抛物线C于M、N两点，
∴

k2≠0 (6k2+4)2-36k4＞0

，∴k≠0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2+4

k2

，x₁x₂=9，
|MN|=

(1+k2)[(6+ 4 k2 )2-36]

=4

(1+k2)( 3 k2 + 1 k4 )

=4

1 k4 + 4 k2 +3

=4

( 1 k2 +2)2-1

＞4

3

，
∴|MN|的最小值为4

3

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查弦长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和弦长公式的合理运用．