Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知原点O到直线AB的距离为

6

3

b
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过点F₂的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a、b、c的关系求出离心率的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，设P（x₀，y₀）求出

F1B

、

F1P

的坐标，由以线段PB为直径的圆经过点F₁得：

F1B

•

F1P

=0，由向量的数量积运算化简，结合点P在椭圆列出方程，求出点P的坐标，再求出圆心坐标和半径，设直线l的方程为y=k（x-c），由直线与圆相切的条件列出方程，求出k的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，A（a，0）、B（0，b），
则直线AB的方程是

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
因为原点O到直线AB的距离为

6

3

b，所以

6

3

b=

|-ab|

a2+b2

，
化简得，a²=2b²，
又c²=a²-b²，则c²=b²，所以e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²，因此椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c）得，

F1B

=（c，c），

F1P

=（x₀+c，y₀），
因为以线段PB为直径的圆经过点F₁，所以

F1B

•

F1P

=0，
即（x₀+c）c+y₀c=0，又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又点P在椭圆上，则

x02

2c2

+

y02

c2

=1，②
由①和②可得3x²₀+4cx₀=0．
而点P不是椭圆的顶点，故x₀=-

4

3

c．代入①得y₀=

1

3

c，
即点P的坐标为（-

4

3

c，

1

3

c），
设圆的圆心为T（x₁，y₁），则x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

1 3 c+c

2

=

2

3

c，
所以该圆的半径r=

(- 2 3 c-0)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c，
设直线l的斜率为k，依题意设直线l的方程为y=k（x-c），
由l与圆相切，可得

5

3

c=

|k(- 2 3 c)- 2 3 c-kc|

k2+1

，
整理得20k²+20k-1=0，解得k=

-5+ 30

10

或k=

-5- 30

10

．

点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．