Question

已知函数f（x）=ln x-

a

x

（1）若f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值；
（2）设g（x）=lnx-a，若g（x）＜x²在（0，e]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值；
（2）分离参数，可得a＞x²+lnx，构造h（x）=x²+lnx，确定函数h（x）在（0，e]上单调递增，求出最大值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）求导数，f′（x）=

x+a

x2

（x＞0），
∴①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上递增，∴函数f（x）[1，e]上最小值为f（1）=-a=2，
∴a=-2与a≥0矛盾；
②当a＜0时，f（x）在（0，-a）上递减，（-a，+∞）上递增，∴函数f（x）[1，e]上最小值为f（-a）=ln（-a）+1=2，解得a=-e；
（2）g（x）＜x²，即a＞x²+lnx
构造h（x）=x²+lnx，则h′（x）=2x+

1

x

在（0，e]上，h′（x）=2x+

1

x

＞0，∴函数h（x）在（0，e]上单调递增，
∴x=e时，函数h（x）的最大值为e²+lne，
∴a＞e²+lne．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．