Question

已知函数f（x）=

x+1

x-2

，其中x∈[3，5]．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[3，5]上单调递减；
（Ⅱ）结合单调性，求函数f（x）=

x+1

x-2

在区间[3，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．
（2）由单调性求最值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1-2

-

x2+1

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

；
∵x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，
∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＞0；
故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函数f（x）在[3，5]上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
函数f（x）=

x+1

x-2

在区间[3，5]上的最大值为f（3）=

3+1

3-2

=4；
最小值为f（5）=

5+1

5-2

=2．

点评：本题考查了函数单调性的证明，一般有两种方法，定义法，导数法，同时考查了函数的最值，属于中档题．