Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABC，则：
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由余弦定理得BD=

3

AD，从而BD⊥AD，由线面垂直得BD⊥PD，由此能证明PA⊥BD．
（Ⅱ）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD，
故PA⊥BD．
（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，1），

AB

=（-1，

3

，0），

PB

=（0，

3

，-1），

BC

=（-1，0，0），
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AB =-x+ 3 y=0 n • PB = 3 y-z=0

，取y=1，得

n

=（

3

，1，

3

），
设平面PBC的法向量为

m

=（a，b，c），则

m • PB = 3 b-c=0 m • BC =-a=0

，
取b=1，得

m

=（0，1，

3

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+3

7 •2

=

2 7

7

，
∵二面角A-PB-C的平面角是钝角，∴二面角A-PB-C的余弦值为-

2 7

7

．

点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．