Question

已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=

10.8- 1 30 x2(0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2 (x＞10)

．
（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；当x＞10时，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；写成分段函数即可；
（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可．

解答： 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，
P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
当x＞10时，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；
故P=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

；
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1-

x2

10

=0解得，x=9；
故当x=9时有最大值P=8.1×9-

93

30

-10=38.6；
②当10＜x时，由P=98-（

1000

3x

+2.7x）≤98-2

1000 3 ×2.7

=38；
（当且仅当

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

时，等号成立）；
综上所述，当x=9时，P取得最大值．
即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．