Question

6．已知正数x、y、z满足x²+y²+z²=1，则S=$\frac{1}{{2xy{z^2}}}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用基本不等式转化已知条件，推出结果即可．

解答 解：正数x、y、z满足x²+y²+z²=1，
可得1=x²+y²+$\frac{1}{2}$z²+$\frac{1}{2}$z²≥$4\root{4}{{x}^{2}{y}^{2}•\frac{1}{2}{z}^{2}•\frac{1}{2}{z}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1}{2}xy{z}^{2}}$，
可得$\frac{1}{2}xy{z}^{2}$≤$\frac{1}{16}$，xyz²≤$\frac{1}{8}$
即S=$\frac{1}{{2xy{z^2}}}$≥4，当且仅当x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}z$=$\frac{1}{2}$时，S取得最小值4．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想与计算能力．