Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大、最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{5π}{12}$时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．
（2）由x的范围，可求2x-$\frac{π}{3}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由图象可知，A=2，…（1分）
周期T=$\frac{4}{3}$[$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）]=π，
∴$\frac{2π}{|ω|}$=π，ω＞0，则ω=2，…（3分）
从而f（x）=2sin（2x+φ），代入点（$\frac{5π}{12}$，2），
得sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，则$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，…（5分）
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，则φ=-$\frac{π}{3}$，…（6分）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．…（7分）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则 2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，…（8分）
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）_max=2，…（10分）
当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=0时，f（x）_min=-$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．