Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=5，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$（λ，μ∈R），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），则$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$μ{\overrightarrow{b}}^{2}$-$λ{\overrightarrow{a}}^{2}$=0，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$μ{\overrightarrow{b}}^{2}$-$λ{\overrightarrow{a}}^{2}$=0，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．
故答案为：$\frac{25}{16}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．