Question

14．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ=8cosθ+6sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$（t为参数，a为实常数）．
（1）若a=-1，求直线l与圆C的所有公共点；
（2）若直线l与圆C相交，截得弦长为2$\sqrt{7}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，直线l：y=x+1由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得圆C：（x-4）²+（y-3）²=25，联立方程组能求出直线l与圆C的所有公共点．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：ax+y-1=0，求出弦心距，由勾股定理能求出结果．

解答 解：（1）a=-1时，直线l：y=x+1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得圆C：（x-4）²+（y-3）²=25，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{（x-4）}^{2}{+（y-3）}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6+\sqrt{46}}{2}}\\{y=\frac{8+\sqrt{46}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6-\sqrt{46}}{2}}\\{y=\frac{8-\sqrt{46}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l与圆C的所有公共点为（$\frac{6+\sqrt{46}}{2}$，$\frac{8+\sqrt{46}}{2}$）和（$\frac{6-\sqrt{46}}{2}$，$\frac{8-\sqrt{46}}{2}$）．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$（t为参数，a为实常数）消去参数t，
得直线l的直角坐标方程为：ax+y-1=0，
如图，弦心距d=$\frac{|4a-3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|4a-2|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理得：$（\frac{|4a-2|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}=25$
解得a=2或a=-1．

点评 本题考查直线与圆的交点坐标求法，考查实数值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．