Question

对于非零向量

α

，

β

，定义一种向量积：

α

•

β

=

α • β

β • β

．已知非零向量

a

，

b

的夹角θ，∈（0，

π

4

），且

a

•

b

，

b

•

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中．则

a

•

b

=（　　）

• A、

  5

  2

  ，

  3

  2

• B、

  1

  2

  ，

  3

  2

• C、

  5

  2

  ，

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,新定义,平面向量及应用

分析：由定义可得，

a

•

b

=

n

2

，同理可得，

b

•

a

=

m

2

，其中m，n均为整数，将两式相乘得，cos²θ=

mn

4

，若|

a

|≥|

b|

＞0，则n≥m，由于非零向量

a

，

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），则cos²θ∈（

1

2

，1），

mn

4

∈（

1

2

，1），结合m，n均为整数，则m=1，n=3，若|

a

|≤|

b

|，同理即可得到m=3，n=1．即可得到答案．

解答： 解：由定义可得，

a

•

b

=

a • b

b • b

=

| a |cosθ

|b |

=

n

2

，
同理可得，

b

•

a

=

b • a

a • a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，
其中m，n均为整数，
将两式相乘得，cos²θ=

mn

4

，
若|

a

|≥|

b|

＞0，则n≥m，
由于非零向量

a

，

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），则cos²θ∈（

1

2

，1），

mn

4

∈（

1

2

，1），结合m，n均为整数，则m=1，n=3，
故

a

•

b

=

3

2

，
若|

a

|≤|

b

|，则m≥n，由上面的分析可得，m=3，n=1，
故

a

•

b

=

1

2

．
故选B．

点评：本题给出新定义，求式子

a

?

b

的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．