Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于-

3

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得；
（Ⅱ）先由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得0＜a＜

1

2

，再设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．

解答： 解 （Ⅰ）首先，x＞0，f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

，
∵f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，
∴a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

．
（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0，
解得：0＜a＜

1

2

，
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的极小值点，
因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，则更有f(x2)＜-

3

2

．
由韦达定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中设g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
∴g′（t）=

1

t

-

3

2

，
令g′（t）=0，即t=

2

3

，
∴g′（t）＜0，即t＞

2

3

函数g（t）单调递减，
而g（1）=0，因此g（t）＜0，即f（x）的极小值f（x₂）＜0．

点评：本题主要考查了导数的应用，解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．