Question

2．定义在R上的函数f（x），若对任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若对任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，则称函数f（x）为“T函数”，给出下列函数：（1）y=e^-3x-x；（2）y=-x³+3x-3x+1；（3）y=$\frac{ln（-x）}{x}$；（4）y=-x-sinx．其中“T函数”的个数3．

Answer 1

分析 由题意对任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若对任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，可化解为$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，可知函数f（x）定义在R上是减函数．即可判断各函数．

解答 解：由题意：对任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若对任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，可化解为$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，可知函数f（x）定义在R上是减函数．
对于（1）y=e^-3x-x；∵y₁=e^-3x是减函数，y₂=-x是减函数，∴y=e^-3x-x是减函数．（1）是“T函数”；
对于（2）y=-x³+3x²-3x+1；求导y′=-3（x-1）²，y′＜0，可知y=-x³+3x²-3x+1在（-∞，+∞）是减函数．（2）是“T函数”；
对于（3）y=$\frac{ln（-x）}{x}$，其定义域为{x|x＜0}，求导y′=-$\frac{[1+ln（-x）]}{{x}^{2}}$，令y′=0，解得：x=$-\frac{1}{e}$，可知y=$\frac{ln（-x）}{x}$在（-∞，$-\frac{1}{e}$）是增函数，在（$-\frac{1}{e}，0$）是减函数，（3）不是“T函数”；
对于（4）y=-x-sinx：求导y′=-1-cosx，y′＜0，可知y=-x-sinx在（-∞，+∞）是减函数（4）是“T函数”；
故答案为3．

点评 本题考查了函数的单调性的讨论，利用到了导函数研究函数的单调性问题．属于中档题．