Question

12．如图，直角△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，作△ABC的内接正方形BEFB₁，再作△B₁FC的内接正方形B₁E₁F₁B₂，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{a_n}，其前n项和为$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．

Answer 1

分析 由题意可得：△ACB∽△FB₁C，可得$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$，即$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$，解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₁=$\frac{4}{9}$；同理可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，${a}_{n}=（\frac{4}{9}）^{n}$．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由题意可得：△ACB∽△FB₁C，
∴$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$，∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$，解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₁=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
同理可得：$\sqrt{{a}_{2}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$，a₂=$（\frac{4}{9}）^{2}$；
…，
可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，${a}_{n}=（\frac{4}{9}）^{n}$．
∴数列{a_n}的前n项和=$\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{4}{9}）^{n}]}{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．
故答案为：$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、三角形相似的性质、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．