Question

已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B₁B=AB=2BC=4，D，E分别是B₁C₁，A₁A的中点．
（1）求证：A₁D∥平面B₁CE；
（2）设M是EB₁的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，求直线NP与平面MNC所成角θ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接CB₁，C₁B交于O，连接OE，利用三棱柱的性质，得到OD∥A₁E，OD=A₁E，进一步得到A₁D∥OE，利用线面平行的判定定理可证；
（2）建立坐标系，求出平面MNC的法向量，利用法向量与向量AB所成的角的余弦值得到直线NP与平面MNC所成角为θ的范围．

解答： （1）证明：如图，

连接CB₁，C₁B交于O，连接OE，因为几何体是三棱柱，所以OD∥A₁E，OD=A₁E，
所以A₁D∥OE，OE?平面B₁CE，A₁D?平面B₁CE，
所以A₁D∥平面B₁CE；
（2）建立坐标系，如图

设P（a，b，0），N（0，1，0），M（0，2，3），C（2，0，0），得到

NP

=（a，b-1，0），

MN

=（0，-1，-3），

NC

=（2，-1，0），
设平面MNC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • MN =0 n • NC =0

即

y+3z=0 2x-y=0

，令x=1，则

n

=（1，2，-

2

3

），
cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA || n |

=

8

4× 7 3

=

6

7

，
所以直线NP与平面MNC所成角为θ的范围为[0，arcsin

6

7

]．

点评：本题考查了线面平行的判定定理的运用，以及线面角的求法，（1）关键是转化为线线平行解答；（2）借助于平面的法向量与直线的方向向量的夹角求之．