Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为的中点．
（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求异面直线CB与AE所成角的大小；?求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面CDE．
（2）取CE的中点Q，连结FQ，由FD，FQ，FA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB与AE所成角的大小和平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．

解答： （1）证明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF，又∵AC=AD，F为CD中点，
∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
（2）解：取CE的中点Q，连结FQ，
∵F为CD的中点，故DE⊥平面ACD，
∴FQ⊥平面ACD，由（1）知FD，FQ，FA两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则F（0，0，0），C（-1，0，0），
A（0，0，

3

），B（0，1，

3

），E（1，2，0），

CB

=（1，1，

3

），

AE

=（1，2，-

3

），
∵

CB

•

AE

=0，∴异面直线CB与AE所成角的大小为90°．

CB

=（1，1，

3

），

CE

=（2，2，0），
设平面BCE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，0)，
又平面ACD的一个法向量为

FQ

=（0，1，0），
∴|cos＜

FQ

，

n

＞|=|

0-1+0

2

|=

2

2

，
∴平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小为45°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线CB与AE所成角的大小和平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．