Question

已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时．f（x）=x²-x．
（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）=a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性，利用对称性，写出函数y=f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）的表达式，利用数形结合的思想求a的取值范围；
（3）y=f（x）当x∈[1，2]时的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，x²-x＞2x+2m+1在区间[1，2]恒成立，即2m＜x²-3x-1在区间[1，2]恒成立，运用二次函数的对称轴和区间的关系，即可求得右边的最小值，令2m小于最小值即可．

解答： 解：（1）当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-（-x））=-x²-x，且f（0）=0，
∴f（x）=

x2-x，x≥0 -x2-x，x＜0

；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，最小值为-

1

4

；
∴当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-x=

1

4

-（x+

1

2

）²，最大值为

1

4

．
∴据此可作出函数y=f（x）的图象，根据图象得，
若方程f（x）=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是（-

1

4

，

1

4

）；
（3）∴在区间[1，2]内，y=f（x）=x²-x，
∵y=f（x）当x∈[1，2]时的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
∴x²-x＞2x+2m+1在区间[1，2]恒成立，即2m＜x²-3x-1在区间[1，2]恒成立，
∵函数t=x²-3x-1在区间[1，

3

2

]是减函数，（

3

2

，2]上是增函数，
∴当x=

3

2

时，x²-3x-1的最小值是-

13

4

，
则2m＜x²-3x-1在区间[1，2]恒成立，
可得，2m＜-

13

4

，即m＜-

13

8

．

点评：本题以二次函数为例，求函数在闭区间上的最值的表达式，并求不等式恒成立时参数的取值范围，着重考查了二次函数的单调性、图象的对称性和函数恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．