Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域以及使f（x）＞0成立的x的取值范围；
（2）证明f（x）为奇函数；
（3）试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，解出定义域，当a＞1时，f（x）＞0，则

1+x

1-x

＞1，当0＜a＜1时，f(x)＞0，则0＜

1+x

1-x

＜1，分类求解．（2）运用奇偶性定义证明判断．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，0＜

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2-x2+x1

＜1，f（x₁）-f（x₂）=log

( 1-x1x2+x1-x2 1-x1x2-x1+x2 ) a

（a＞0，且a≠1），再讨论判断f（x₁）与f（x₂）大小，即可判断大小．

解答： 解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，
∴

x+1

x-1

＜0，即(x+1)(x-1)＜0．
∴-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1）
另当a＞1时，f（x）＞0，则

1+x

1-x

＞1，
则

1+x

x-1

+1＜0，

2x

x-1

＜0
∴2x（x-1）＜0，
∴0＜x＜1故当a＞1时，使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）
当0＜a＜1时，f(x)＞0，则0＜

1+x

1-x

＜1
则

1+x 1-x +1＞0， 1+x 1-x ＜0，

得-1＜x＜0，当0＜a＜1时，
使f（x）＞0的x的范围为（-1，0）
（2）证明：∵f(x)=loga

1+x

1-x

，
∴f(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-lo

g

a

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）中为奇函数，
（3）∵f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），
∴设-1＜x₁＜x₂＜1，0＜

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2-x2+x1

＜1
f（x₁）-f（x₂）=log

( 1-x1x2+x1-x2 1-x1x2-x1+x2 ) a

（a＞0，且a≠1）．
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），f（x）的单调递增．
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），f（x）的单调递减．
故当a＞1时，f（x）的单调递增．
当0＜a＜1时，f（x）的单调递减

点评：本题综合考查了函数的性质，难度较大，运算要仔细认真．