Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过点F₁且垂直于x轴的双曲线的弦．
（1）若∠PF₂Q=90°，求该双曲线的离心率；
（2）若△PF₂Q是锐角三角形，求该双曲线的离心率．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据PQ是经过F₁且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF₂Q=90°，可得|PF₁|=|F₁F₂|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率；
（2）若△PF₂Q是锐角三角形，则由于△PF₂Q是等腰三角形，故只要∠PF₂Q为锐角即可，考虑求出

F2P

=（-2c，

b2

a

），

F2Q

=（-2c，-

b2

a

），再由数量积大于0，得到a，b，c的方程，再由离心率的公式，得到e²-2e-1＜0，解出即可．

解答： 解：（1）∵PQ是经过F₁且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF₂Q=90°，
∴|PF₁|=|F₁F₂|，
令x=-c，代入双曲线方程得，y=±b

c2 a2 -1

=±

b2

a

，
∴

b2

a

=2c，
再由b²=c²-a²，e=

c

a

，即有e²-2e-1=0，
∴e=1±

2

∵e＞1∴e=1+

2

故该双曲线的离心率为1+

2

；
（2）若△PF₂Q是锐角三角形，则由于△PF₂Q是等腰三角形，
故只要∠PF₂Q为锐角即可，由（1）得，P（-c，

b2

a

），Q（-c，-

b2

a

），
F₂（c，0），

F2P

=（-2c，

b2

a

），

F2Q

=（-2c，-

b2

a

），
由∠PF₂Q为锐角即为

F2P

•

F1P

＞0，
即有4c²-

b4

a2

＞0，即2ac＞c²-a²，
即e²-2e-1＜0，解得，1-

2

＜e＜1+

2

，
由于e＞1，则有1＜e＜1+

2

．
故该双曲线的离心率的范围是（1，1+

2

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积解决角为锐角的问题，考查运算能力，属于中档题．