Question

已知双曲线的左右焦点F₁，F₂的坐标为（-4，0）与（4，0），离心率e=2．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知椭圆

x2

36

+

y2

20

=1，点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，求|PF₁|•|PF₂|的值．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由双曲线的焦点坐标及离心率，可求得实半轴长，再由b²=c²-a²求得虚半轴，则双曲线方程可求；
（2）由椭圆方程求得椭圆焦点与双曲线焦点重合，利用椭圆及双曲线定义列式求出P到两个焦点的距离，则答案可求．

解答： 解：（1）∵c=4，e=

c

a

=2，
∴a=2，则b²=c²-a²=12，
∴双曲线的方程为：

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）由椭圆

x2

36

+

y2

20

=1，知其左右焦点为F₁（-4，0）与F₂（4，0），
又点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，由椭圆及双曲线定义得：

|PF1|+|PF2|=12 |PF1|-|PF2|=4

，
则|PF₁|=8，|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=32．

点评：本题考查了圆锥曲线的综合题，解答的关键是利用圆锥曲线的定义列式，求出P点到两焦点的距离后得答案，属中档题．