Question

如图，在直角坐标系xoy中，AB是半圆O：x²+y²=1（y≥0）的直径，点C是半圆O上任一点，延长AC到点P，使CP=CB，当点C从点B运动到点A时，动点P的轨迹的长度是（　　）

• A、2π
• B、

  2

  π
• C、π
• D、4

  2

  π

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：根据题意，△BCP是以C为直角顶点的等腰直角三角形，可得直线PA到PB的角为45°．由此P（x，y），利用直线的斜率公式建立关于x、y的关系式，化简得到x²+（y-1）²=2，进而利用圆的周长公式算出点P的轨迹的长度．

解答： 解：连结BP，根据题意可得△BCP是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直线PA到PB的角为45°，
设P（x，y），可得k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，
∴tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 • y x+1

=1，
化简得x²+（y-1）²=2．
∴点P的轨迹方程为x²+（y-1）²=2，
由已知y≥0可得k_PA=

y

x+1

＞0，
可知P点的轨迹是以（0，1）为圆心、半径r=

2

的半圆，
可得轨迹的长度是

1

2

×2πr=

2

π．
故选：B

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹形成图形的长度．着重考查了圆的性质、直线的斜率公式和动点的轨迹及其应用等知识，属于中档题．