Question

【题目】选修4－4：坐标系与参数方程(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）求曲线的参数方程；

（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；

（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.

解：（1）由得

将代入，整理得曲线的普通方程为，

设曲线上的点为，变换后的点为

由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得

曲线的普通方程为 ，

曲线的参数方程为(为参数).

（2）设四边形的周长为，设点，

，

且，，

，

．

且当时，取最大值，此时，

所以，，，此时.