题目内容
【题目】(本小题满分12分)
已知椭圆:
的左、右顶点分别为A,B,其离心率
,点
为椭圆上的一个动点,
面积的最大值是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过椭圆右顶点
的直线
与椭圆的另一个交点为
,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,当
时,求点
的坐标.
【答案】(1)(2)当
时,
,当
时,
【解析】
(1)由题意可知解方程即可得解;
(2)设直线的方程为
,
,由直线与椭圆联立得
,由根与系数的关系可得
,从而得
中点的坐标,进而得
的垂直平分线方程,令x=0可得
,再由
,用坐标表示即可解
.
(1)由题意可知解得
,
,
所以椭圆方程为.
(2)由(1)知,设直线
的方程为
,
,
把代入椭圆方程
,
整理得,
所以,则
,
所以中点的坐标为
,
则直线的垂直平分线方程为
,得
又,即
,
化简得,
解得
故当时,
,当
时,
.
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