题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和极值；
（2）若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围；
（3）求证：
.
【答案】（1）单调递增区间为
，单调递减区间为
，
的极大值为
，无极小值；（2）
；（3）详见解析.
【解析】
（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值；（2）先分离变量，转化为对应函数最值，再利用导数求对应函数最值，即得结果，（3）利用（2）得
，即得
，再利用放缩以及裂项相消法求和，即得结果.
解：（1）∵
，其定义域为
，
∴
，
令
，得
，
令
，得
.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
的极大值为，无极小值.
（2）∵
，
，
∴
，令
，
则
，
令
，解得
.
当
在内变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
|
|
|
|
由表知，当时，函数有最大值，且最大值为
，∴
，
∴实数
的取值范围为.
（3）由（2）知，，
∴，
∴
.
∵
，
∴
，
即
.
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【题目】物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对某公司的该产品的销量与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：
定价x（元／kg） | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年销量y（kg） | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z＝21ny | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
（参考数据：
，
，
，
）
（Ⅰ）根据散点图判断，y与x和z与x哪一对具有的线性相关性较强（给出判断即可，不必说明理由）？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
