Question

2．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．B=$\frac{π}{3}$
（1）若2sinA=sinC，求角A的大小
（2）若sinAsinC=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的正弦公式和同角的三角函数的关系即可求出，
（2）根据正弦定理和向量的数量积公式，计算即可．

解答 解：（1）B=$\frac{π}{3}$，2sinA=sinC，
∴2sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$，
（2）根据正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2r，
∵sinAsinC=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3=$\frac{1}{2}$accos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$ac=$\frac{1}{4}$2rsinA•2rsinC，
∴r=1，
∴b=2rsinB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解三角形的问题，关键是应用正弦定理和两角和差的正弦公式，属于中档题．