Question

13．设集合M={a₁，a₂，…a_n}（n∈N₊），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为T_n，若a_n=2^n-1则：①T₃=21，②T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 ①由a_n=2^n-1，n=3时，M={1，2，4}，其非空子集A为{1}，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，4}，{1，2，4}．即可得出T₃．．
②由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．有2^n-1个子集含2^n-1，有2^n-2个子集不含2^n-1含2^n-2，…，依此类推可得：有2^k-1个子集不含2^n-1，2^n-2，…，2^k，而含有2^k-1．即可得出．

解答 解：①∵a_n=2^n-1，n=3时，M={1，2，4}，其非空子集A为{1}，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，4}，{1，2，4}．
∴T₃=1+2+4+2+4+4+4=21．
②由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
有2^n-1个子集含2^n-1，有2^n-2个子集不含2^n-1含2^n-2，…，依此类推可得：有2^k-1个子集不含2^n-1，2^n-2，…，2^k，而含有2^k-1．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴对应的f（A）的和为T_n=2^n-1•2^n-1+2^n-2•2^n-2+…+2×2+1×1
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故答案分别为：21；$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查了“分类讨论”方法、等比数列的通项公式及其前n项和公式、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．