Question

10．已知在数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃及S₂，S₃的值；
（2）若存在常数λ，使得数列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}成等差数列，求出λ的值，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知中a₁=3，前n项和为S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2），代入递推可得a₂，a₃及S₂，S₃的值；
（2）先假设存在实数λ，进一步分析求实数λ，从而确定结论．进而先求出数列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}的通项公式，进而得到S_n的表达式，进而可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=3，前n项和为S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2）．
∴a₂=S₁-2²-1=a₁-2²-1=-2，
∴S₂=1，
∴a₃=S₂-2³-1=-8，
∴S₃=-7；
（2）假设存在实数λ，使得数列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}为等差数列，
则：$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}+λ}{{2}^{n-1}}$必为与n无关的常数，
$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}+λ}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{S}_{n}+λ-2（{S}_{n-1}+λ）}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}-{S}_{n-1}-λ}{{2}^{n}}$=$\frac{-{2}^{n}-1-λ}{{2}^{n}}$=-1-$\frac{1+λ}{{2}^{n}}$，
则：1+λ=0
解得：λ=-1，
则：$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=-1（n≥2）
数列{$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{\;}}$=1为首项，公差为-1的等差数列．
∴$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$=-n+2，
∴S_n=（-n+2）•2ⁿ+1，…①
当n≥2时，S_n-1=（-n+3）•2^n-1+1，…②
①-②得：
a_n=（-n+1）2^n-1，
当n=1时，a₁=3，
数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\（-n+1）•{2}^{n-1}，n≥2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是等差数列的性质，数列的递推公式，求数列通项公式的方法，难度中档．