Question

11．对任意的实数x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{3}{5}$＜a＜1
• B． -$\frac{3}{5}$＜a≤1
• C． -$\frac{3}{5}$≤a≤1
• D． -$\frac{3}{5}$≤a＜1

Answer 1

分析 根据题意，分2种情况讨论：1°若a²-1=0，则a=±1，分别验证a=1或-1时，是否能保证该不等式满足对任意实数x都成立，
2°若a²-1≠0，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0为二次不等式，结合二次函数的性质，解可得此时a的范围，综合可得答案．

解答 解：根据题意，分2种情况讨论：
1°若a²-1=0，则a=±1，
当a=1时，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0为：-1＜0，
满足对任意实数x都成立，则a=1满足题意，
当a=-1时，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0为：-2x＜0，
不满足对任意实数x都成立，则a=-1不满足题意，
2°若a²-1≠0，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0为二次不等式，
要保证（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0对任意实数x都成立，
必须有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{△{=（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
解可得：-$\frac{3}{5}$＜a＜1，
综合可得-$\frac{3}{5}$＜a≤1，
故选：B．

点评 本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意要讨论二次项的系数．