Question

设椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上且异于、两点，为坐标原点.
（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（2）对于由(1)得到的椭圆，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率.

Answer 1

(1) .
(2) 的斜率.

试题分析：(1)先求出A，B的坐标，然后利用与的斜率之积为,建立关于a的方程，从而求出a值，进一步可求出椭圆的离心率.
（2）设直线 的斜率为 , 直线的方程为,则有，
设，由于三点共线，且,
再把此条件坐标可知,从而得到或,
再利用点P在椭圆上，可建立关于k的方程求出k的值.
解：(1) 由已知,设.             …………1分
则直线的斜率,
直线的斜率.
由,得.                           …………2分
    …………3分
,得,                                       …………4分
.                                             …………5分
椭圆的离心率.                                       …………6分
(2) 由题意知直线的斜率存在.                                 …………7分
设直线 的斜率为 , 直线的方程为                …………8分
则有，
设，由于三点共线，且
根据题意，得    …………9分
解得或            …………11分
又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为
所以…………①
或 …………②
由①解得，即,
此时点与椭圆左端点重合, 舍去;           …………12分
由②解得，即                            …………13分
直线直线的斜率.                             …………14分
点评：两点的斜率公式;另外解本小题的关键是条件的使用，实际上此条件是用k表示出点P的坐标，再根据点P在椭圆上，建立关于k的方程求出k值.