Question

4．已知下列各式：①f（|x|+1）=x²+1； ②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$；③f（x²-2x）=|x|； ④f（|x|）=3^x+3^-x．其中存在函数f（x）对任意的x∈R都成立的是（　　）

• A． ①④
• B． ③④
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 由t=|x|+1（t≥1），可得f（t）=（t-1）²+1，即可判断①；
由令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，结合函数的定义，即可判断②；
令t=x²-2x，若t＜-1时，x∈∅；t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能构成函数，即可判断③；
讨论x≥0，x＜0，可得函数式，即可判断④．

解答 解：①f（|x|+1）=x²+1，由t=|x|+1（t≥1），可得|x|=t-1，则f（t）=（t-1）²+1，
即有f（x）=（x-1）²+1对x∈R均成立；
②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$，令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，
对0＜t≤1，y=f（t）不能构成函数，故不成立；
③f（x²-2x）=|x|，令t=x²-2x，若t＜-1时，x∈∅；
t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能构成函数；
④f（|x|）=3^x+3^-x．当x≥0时，f（x）=3^x+3^-x；
当x＜0时，f（-x）=3^x+3^-x；将x换为-x可得f（x）=3^x+3^-x；故恒成立．
综上可得①④符合条件．
故选：A．

点评 本题考查函数的恒成立问题，注意运用代换法和函数的定义，考查推理和判断能力，属于基础题．