Question

5．若正实数x，y满足2x+y=2，则$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$的最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，由分式的运算性质分析可得$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$-9，又由2x+y=2，则有2（x+1）+（y+1）=5，进而分析可得$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=（$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$）$\frac{（2x+2）+（y+1）}{5}$-9=$\frac{1}{5}$（16+9+$\frac{18（x+1）}{y+1}$+$\frac{8（y+1）}{x+1}$）-9，由基本不等式的性质计算可得答案．

解答 解：根据题意，若2x+y=2，
则$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=$\frac{（2-y）^{2}}{y+1}$+$\frac{（2-2x）^{2}}{2（x+1）}$=$\frac{[（y+1）-3]^{2}}{y+1}$+2$\frac{[（x+1）-2]^{2}}{x+1}$=（y+1）+$\frac{9}{y+1}$+2（x+1）+$\frac{16}{2（x+1）}$-14=$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$-9；
又由2x+y=2，则有2（x+1）+（y+1）=5，
则$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=（$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$）$\frac{（2x+2）+（y+1）}{5}$-9=$\frac{1}{5}$（16+9+$\frac{18（x+1）}{y+1}$+$\frac{8（y+1）}{x+1}$）-9≥$\frac{1}{5}$（25+2$\sqrt{\frac{18（x+1）}{y+1}×\frac{8（y+1）}{x+1}}$）-9≥$\frac{4}{5}$；
当且仅当y+1=2（x+1）=$\frac{5}{2}$时，等号成立；
即$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$的最小值是$\frac{4}{5}$；
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查基本不等式的性质及应用，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件．