Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
2）求证：CD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（2）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，由勾股定理得AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．

解答 解：（1）由已知，四边形ABCD是直角梯形，
∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}（2+4）×2=6$，
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PA=\frac{1}{3}×6×2=4$．…（6分）
证明：（2）由PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，则PA⊥CD，
在三角形ABC中，$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=2\sqrt{2}$，
又$CD=2\sqrt{2}$，∴AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD，…（10分）
又∵PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．