Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在递推式中分别取n=1，2联立方程组求得等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）把（1）中求得的通项代入b_n=

1

an•an+1

，然后利用裂项相消法求和，则由T_n的单调性及放缩法可证不等式．

解答： 解：（1）由a_n²=S_2n-1，
取n=1得，a12=S1=a1，
∵数列{a_n}是各项均不为0，
∴a₁=1，
取n=2得，a22=S3，
即（1+d）²=3+3d，解得：d₁=-1（舍），d₂=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a_n=2n-1代入b_n=

1

an•an+1

，得：
bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
又bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)＞0，且b1=

1

2

(1-

1

3

)=

1

3

．
∴Tn≥

1

3

．
∴

1

3

≤T_n＜

1

2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．