题目内容
已知是A、B、C直线l上的三点，向量
，
，
满足：
-[f（x）+
]•
-（x-1）•
=
，且对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| 1 |
| x |
| OB |
| OC |
. |
| 0 |
考点：函数恒成立问题,平面向量数量积的运算
专题：综合题,平面向量及应用
分析：利用三点共线的等价条件，建立条件关系，求出函数y=f（x）的解析式，再分类讨论，化为具体不等式，即可确定实数m的取值范围
解答：
解：∵A、B、C是直线l上不同的三点，向量
，
，
满足：
-[f（x）+
]•
-（x-1）•
=
，
∴f（x）+
+（1-x）=1，
∴f（x）=x-
，
∴f′（x）=1+
，
∴f（x）为增函数，且m≠0，
若m＞0，则f（mx）、mf（x）均为增函数，此时不符合题意；
若m＜0，则mx-
+mx-
＜0，∴1+
＜2x2，
∵y=2x2在[1，+∞）上的最小值为2，∴1+
＜2，
∴m＜-1．
故答案为：m＜-1．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| 1 |
| x |
| OB |
| OC |
. |
| 0 |
∴f（x）+
| 1 |
| x |
∴f（x）=x-
| 1 |
| x |
∴f′（x）=1+
| 1 |
| x2 |
∴f（x）为增函数，且m≠0，
若m＞0，则f（mx）、mf（x）均为增函数，此时不符合题意；
若m＜0，则mx-
| 1 |
| mx |
| m |
| x |
| 1 |
| m2 |
∵y=2x2在[1，+∞）上的最小值为2，∴1+
| 1 |
| m2 |
∴m＜-1．
故答案为：m＜-1．
点评：本题主要考查不等式恒成立的应用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，利用三点共线的等价条件，以及复合函数的单调性之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
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