Question

8．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
（1）两名女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端．

Answer 1

分析 （1）将两女生看作一个元素，使用捆绑法排列；
（2）插空法排列；
（3）相除法计算；
（4）分类法计算．

解答 解：（1）两名女生站在一起有站法A${\;}_{2}^{2}$种，视为一种元素与其余5人全排，有A${\;}_{6}^{6}$种排法．
故有不同站法A${\;}_{2}^{2}$•A${\;}_{6}^{6}$=1 440种．
（2）先站老师和女生，有站法A${\;}_{3}^{3}$种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法A${\;}_{4}^{4}$种．
故共A${\;}_{3}^{3}$•A${\;}_{4}^{4}$=144种．
（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A${\;}_{4}^{4}$种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．
故共有不同站法2•$\frac{{A}_{7}^{7}}{{A}_{4}^{4}}$=420种．
（4）中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：
①老师站两端之一，另一端由男生站，有A${\;}_{2}^{1}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{5}^{5}$种站法，
②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A${\;}_{4}^{2}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{4}^{4}$种站法．
故共有不同站法有A${\;}_{2}^{1}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{5}^{5}$+A${\;}_{4}^{2}$•A${\;}_{4}^{1}$•A${\;}_{4}^{4}$=2 112种．

点评 本题考查了计数原理，排列与排列数的计算，属于中档题．