Question

18．已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a-c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠B为钝角．（1）求角A的大小；
（2）若$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，余弦定理可求$cosA=-\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理可知$2R=\frac{a}{sinA}=1$，利用三角函数恒等变换的应用化简可求b+c=$sin（C+\frac{π}{3}）$，又0$＜C＜\frac{π}{3}$，可得范围$\frac{π}{3}$＜C+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，由正弦函数的图象和性质可求取值范围．（另可用均值不等式求解）

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得b（b-c）=（a+c）（a-c），…3分
可得：a²=b²+c²+bc，…4分
又a²=b²+c²-2bccosA，
于是$cosA=-\frac{1}{2}$，…5分
又A∈（0，π），
∴$A=\frac{2π}{3}$．…6分
（Ⅱ）∵$A=\frac{2π}{3}$，
∴$B+C=\frac{π}{3}$，且0$＜C＜\frac{π}{3}$，…7分
由正弦定理可知，$2R=\frac{a}{sinA}=1$，…8分
所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC，…9分
=$sin（\frac{π}{3}-C）+sinC$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC-\frac{1}{2}sinC+sinC=\frac{1}{2}sinC+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC$=$sin（C+\frac{π}{3}）$，…10分
又0$＜C＜\frac{π}{3}$，可得：$\frac{π}{3}$＜C+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$b+c=sin（C+\frac{π}{3}）$$∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，…12分
注：用均值不等式求解更易，$由（1）{a^2}={b^2}+{c^2}+bc及a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得：$\frac{3}{4}={b^2}+{c^2}+bc={（b+c）^2}-bc$，…6分
从而：$\frac{3}{4}={b^2}+{c^2}+bc={（b+c）^2}-bc≥{（b+c）^2}-{（\frac{b+c}{2}）^2}$，…10分
∴b+c≤1，…11分
又$b+c＞a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜b+c≤1$．…12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．