Question

某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l₁，l₂上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．
（Ⅰ）求集镇A，B间的距离；
（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l₁，l₂上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABO中，根据余弦定理，可求AB；
（Ⅱ）依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC，则OC⊥MN，利用面积求出xy，由余弦定理得，c²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy≥3xy，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABO中，OA=6，OB=10，∠AOB=120°，…（1分）
根据余弦定理得，AB²=OA²+OB²-2•OA•OB•cos120°…（3分）
=62+102-2×6×10×(-

1

2

)=196，
所以AB=14．
故A，B两集镇间的距离为14km．…（5分）
（Ⅱ）依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC，则OC⊥MN．…（6分）
设OM=x，ON=y，MN=c，
在△OMN中，由

1

2

MN•OC=

1

2

OM•ON•sin120°，
得

1

2

×3c=

1

2

xysin120°，即xy=2

3

c，…（8分）
由余弦定理得，c²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy≥3xy，…（10分）
所以c2≥6

3

c，解得c≥6

3

，…（11分）
当且仅当x=y=6时，c取得最小值6

3

．
所以码头M，N与集镇O的距离均为6km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6

3

km．…（12分）

点评：本小题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．