题目内容
已知函数f（x）=2sin（x+
）cosx．
（1）求f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=
，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．
| π |
| 3 |
（1）求f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=
| ||
| 2 |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）由f（A）=
以及第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，根据正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
（2）由f（A）=
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）∵f（x）=（sinx+
cosx）cosx
=sinxcosx+
cos2x
=
sin2x+
cos2x+
=sin（2x+
）+
，
∵-1≤sin（2x+
）≤1，
∴函数f（x）的值域是[
，
]；
（2）由f（A）=sin（2A+
）+
=
，得sin（2A+
）=0，
又A为锐角，∴A=
，
又b=2，c=3，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×
=7，即a=
，
由正弦定理
=
，得sinB=
=
=
，
又b＜a，∴B＜A，
∴cosB=
=
，
则cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=
×
+
×
=
．
| 3 |
=sinxcosx+
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵-1≤sin（2x+
| π |
| 3 |
∴函数f（x）的值域是[
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）由f（A）=sin（2A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
又A为锐角，∴A=
| π |
| 3 |
又b=2，c=3，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×
| 1 |
| 2 |
| 7 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| bsinA |
| a |
2×
| ||||
|
| ||
|
又b＜a，∴B＜A，
∴cosB=
| 1-sin2B |
| 2 | ||
|
则cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=
| 1 |
| 2 |
| 2 | ||
|
| ||
| 2 |
| ||
|
5
| ||
| 14 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、向右平移
| ||
B、向右平移
| ||
C、向左平移
| ||
D、向左平移
|
现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．