Question

已知直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，且与圆（y-1）²+x²=1相切．
（Ⅰ）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，且

FA

•

FB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+b．由直线l与圆（y-1）²+x²=1相切，得 

|b-1|

k2+1

=1，化简得k²=b²-2b，直线l的方程代入x²=4y，消去y，由直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，得△＞0，即可求直线l在y轴上截距的取值范围；
（Ⅱ）以

FA

•

FB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂，结合韦达定理，即可求直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+b．由直线l与圆（y-1）²+x²=1相切，
得 

|b-1|

k2+1

=1，化简得k²=b²-2b．（2分）
直线l的方程代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4b=0．（*） 　　　　　（3分）
由直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，得△=（-4k）²+16b＞0，即k²+b＞0．
将k²=b²-2b代入上式，得b²-b＞0．
解得b＞1，或b＜0．（5分）
注意到k²=b²-2b≥0，从而有b≥2，或b＜0．（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（*）得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
所以

FA

•

FB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂=

3

2

x₁x₂+

1

16

（x₁x₂）²-

1

4

（x₁+x₂）²+1．（10分）
将x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入上式，令

FA

•

FB

=0，得b²-4k²-6b+1=0．
所以b²-4（b²-2b）-6b+1=0，即3b²-2b-1=0．
解得b=-

1

3

，b=1（舍去）．
故k=±

7

3

．
所以直线l的方程为

7

x+3y+1=0，或

7

x-3y-1=0．（13分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．